Définition :
On définit le produit hermitien et les normes associées en \(\mathscr P_i\) : $$\begin{align}{{\langle f,g\rangle_{\text{space} } }}&={{\int_\Bbb Tf(\theta)\overline{g(\theta)}\,d\theta}}\\ {{\langle F,G\rangle_{\text{fréq} } }}&={{\sum_{n\in{\Bbb Z}}F_n\overline{G_n} }}\end{align}$$
On a donc :$${{\lVert f\rVert_{\text{space} } }}={{\sqrt{\langle f, f\rangle} }}\quad\text{ et }\quad{{\lVert F\rVert_{\text{fréq} } }}={{\sqrt{\langle F,F\rangle} }}$$
Propriétés
Théorème de Plancherel
Théorème de Plancherel :
\(\forall f,g\in\mathscr P\), on a : $${{\langle f,g\rangle_{\text{space} } }}={{2\pi\langle F,G\rangle_{\text{fréq} } }}$$
Egalité de Parseval, théorème de la conservation d'énergie
